Paulo Casagrande Godolphim

De MTC
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Projeto: Experimento in silico de matéria ativa sujeita a restrições geométricas

O ramo da física Matéria Ativa começou, para muitos, com o trabalho de 1995 de Vicsek et al. [1] onde foi introduzido um modelo mínimo de partículas autopropelentes sujeitas somente a interações simples e locais. O modelo é capaz de descrever comportamentos emergentes (de movimento coletivo sem liderança) bem como a transição de fase entre o movimento coletivo desordenado e ordenando, propriedades essas características de uma gama de sistemas complexos biológicos e não biológicos.

Baseado na estrutura de boids (bird-oid objects) de Craig Raynolds 1986 [2], o modelo de Vicsek desenvolve a dinâmica de partículas livres puntiformes interagindo entre si dentro de uma caixa 2D finita com contorno periódico e com passo de velocidade de módulo constante sujeitas somente a duas simples interações: uma que tende a alinhar (ordenar) a velocidade da partícula com as velocidades de suas vizinhas - dentro de um raio crítico de interação - e um ruído branco intrínseco à velocidade das partículas que tende a desalinhar (desordenar) as mesmas. Como o módulo da velocidade é mantido sempre constante, as interações no sistema atuam somente nas posições angulares dos vetores velocidade.

O grande sucesso do modelo se dá ao fato de que, apesar da evidente simplicidade, ele apresenta a emergência de comportamento coletivo ordenado que foi (e ainda é) usado para descrever o comportamento de sistemas complexos e altamente fora do equilíbrio como o movimento de revoadas, cardumes e até o crescimento de bactérias . Assim é possível estudar e inferir características de sistemas cuja a experimentação in vivo e in vitro é muito custosa (tanto financeiramente como laboralmente), valendo-se de experimentos in silico de baixo custo.

Desde o sucesso do modelo, várias modificações foram apresentadas criando uma classe de modelos tipo Vicsek, nos quais é conservada a estrutura geral modificando somente determinadas características como o tipo de contorno, de interações, as regras de vizinhos. Em 2003 Grégoire et al. introduziram uma interação radial, derivada de um potencial harmônico, possibilitando a coesão do sistema mesmo para um limite de densidade zero e um volume de exclusão (esfera rígida), impedindo que haja sobreposicão e cruzamento entre partículas [3]. Tais modificações construíram um modelo mais fidedigno às características de certos sistemas, tendo sido usado para descrever o movimento de amebas de dicty [7], segregação celular [4],[5]. Com o modelo de Vicsek-Grégoire é possível obter não somente a transição ordem-desordem, mas também transições de fase do tipo sólido-líquido-gasoso (com ou sem movimento). De certo modo, diríamos que o modelo de Grégoire está para o modelo de Vicsek, assim como o modelo de Van der Waals está para o gás ideal.

Em 2011 Vedula et al. [6] realizaram um experimento in vitro sobre migração celular (de tecidos) onde folhas de células epiteliais MDCK - Mandin-Darbi canine kidney - são liberadas de um reservatório para trilhos de fibronectina de larguras distintas (do diâmetro de uma célula até dezenas), porém pequenas em relação a largura do reservatório. Comportamentos emergentes coletivos distintos foram identificados quando variou-se as larguras dos trilhos: nos trilhos largos foram identificados vórtices de dezenas de células de comprimento, nos trilhos finos as células apresentaram um movimento como o de lagartas (caterpillar like) e que quanto mais finos os trilhos, maior a velocidade de migração das células. Tais respostas às restrições geométricas levantaram hipóteses de como as interações microscópicas entre as células estariam conduzindo o movimento macroscópico coletivo das mesmas. Utilizaremos o modelo mínimo de Vicsek-Grégorie para realizar experimentos in silico afim de testar hipóteses de como as interações célula-célula estariam relacionadas com os padrões de migração coletivos quando sujeitas a restrições geométricas do modelo de engarrafamento.

Metodologia

A revisão bibliográfica será feita durante todo o projeto e a escrita do relatório será delegada aos últimos meses do projeto.

Começaremos desenvolvendo um programa em FORTRAN para aplicar o modelo de Vicsek-Grégoire e garantir que o nosso programa esteja apresentando resultados de acordo com a literatura (as características a serem medidas e comparadas com a literatura ainda serão definidas). Em paralelo estudaremos a fundo o artigo de Vedula [6] afim de definir quais seriam as grandezas de interesse a serem medidas (por exemplo, as grandezas que possibilitariam identificar os movimentos caterpillar like ou os vórtices).

O passo seguinte será desenvolver o programa, sem otimização, afim de obter intuição sobre como as variações dos parâmetros induzem características de movimento distintas. Utilizando condição de contorno aperiódica do tipo de parede rígida, construiremos um reservatório retangular com capacidade de armazenar centenas de células. Ao reservatório será conectado os trilhos de tamanhos variados, onde as células serão liberadas (ainda será definido qual será o tipo de contorno aperiódico das paredes dos trilhos; provavelmente o tipo de contorno fará parte do espaço de parâmetros). Esperamos identificar, a partir de uma análise visual, para quais conjuntos de parâmetros obtêm-se os movimentos emergentes, definindo-se assim qual será o espaço de parâmetros.

Uma vez tendo uma boa intuição sobre a dinâmica do sistema partiremos para a otimização do programa, onde será utilizado o método das caixas . Nesse momento é importante já estarem definidas quais serão as grandezas a serem medidas, pois é durante a construção do programa otimizado que irá se definir como serão feitas tais medidas (o programa otimizado deve ser construído de modo que diminua o custo das medições, afim de que a otimização seja boa). Tendo o programa otimizado, iremos redefinir o espaço de parâmetros, caso achemos que seja necessário (o programa otimizado abre a possibilidade de obter mais intuição sobre o sistema, com baixo custo).

Finalmente, tendo o programa otimizado (e os métodos de medição definidos), iremos variar os parâmetros, medir para quais conjuntos de parâmetros emergem os comportamentos coletivos distintos (as transições de fases) e assim construir (mapear) o espaço de parâmetros.

Vale salientar que a metodologia detalhada acima depende de conseguirmos, utlizando o modelo proposto, obter um conjunto de parâmetros que apresente os movimentos emergentes descritos. Estudar a possibilidade do modelo apresentado não ser suficiente para descrever esses comportamentos é parte do objetivo do trabalho (vide próxima seção), assim reformulações do modelo e da metodologia do projeto podem ser esperadas.

Objetivo

Concluindo, o objetivo deste projeto se resume a duas perguntas: será possível reproduzir os comportamentos coletivos macroscópicos emergentes caterpillar like nos trilhos finos e de vórtices nos trilhos largos utilizando o modelo mínimo de Vicsek-Grégoire? Caso a resposta seja sim, quais seriam as variações no conjunto de parâmetros que possibilitariam tais transições de fase?

Esperamos que a(s) resposta(s) a essa segunda pergunta nos possibilitem construir um modelo fenomenológico para a migração de células sujeitas a restrições geométricas capaz de reproduzir comportamentos in vivo e in vitro e até de prever certos comportamentos, possibilitando assim (mais) um interplay entre estas duas áreas da ciência: a física e a biologia.

Cronograma de execução

Tabpaulo.jpg

\* Definir, in grosgrain, para quais parâmetros emergem: os movimento caterpillar like nos trilhos finos e os vórtices nos trilhos largos.

\** Definir, in finegrain, para quais parâmetros emergem: os movimento caterpillar like nos trilhos finos e os vórtices nos trilhos largos.

Bibliografia

[1] T. Vicsek, A. Czirok, E. Ben-Jacob, I. Cohen, and O. Shochet, Phys. Rev. Lett. {\bf 75}, 1226 (1995).

[2] Reynolds, C. W. (1987) Flocks, Herds, and Schools: A Distributed Behavioral Model, in Computer Graphics, 21(4) (SIGGRAPH '87 Conference Proceedings) pages 25-34.

[3] G. Grégoire, H. Chaté, and Y. Tu, Physica (Amsterdam) {\bf181}D, 157 (2003).

[4] J. M. Belmonte, G. L. Thomas, L. G. Brunnet, R. M. C. de Almeida, and H. Chaté, Phys. Rev. Lett. {\bf 100}, 248702 (2008).

[5] C. P. Beatrici and L. G. Brunnet, Phys. Rev. E {\bf 84}, 031927 (2011)\\

[6] Vedula, S. R. K.et al. Emerging modes of collective cell migration induced by geometrical constraints. Proc. Natl Acad. Sci. USA {\bf 109}, 12974-12979 (2012).

[7] http://hdl.handle.net/10183/31612.